Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，，為邊的中點，點在線段上.

（1）證明：平面平面；

（2）若，平面，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）由面面垂直的判定定理可知要證平面平面需證直線與平面垂直，經過觀察可知要證平面，進而可轉化為證明兩條直線與；（2）四棱錐的體積分兩部分：一是點到平面的距離：可轉化成點到平面的距離，由已知條件可得平面，容易得出的大小；一是的面積：容易知道的面積為的，由此可得棱錐的體積.

試題解析：（1）證明：連接，因為底面是菱形，，

所以是正三角形，

因為為邊的中點，，

所以，，，

所以平面，

因為平面，

所以平面平面．

（2）連接，交于點，連接，

因為∥平面，所以∥，

易知點為的重心，所以，

故，

因為，， 所以，，因為，

所以，即，且，所以平面，

由知，故點到平面的距離為，

因為，

所以四棱錐的體積為．