Question

已知函數f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）在區間（-1，1）上不單調，求a的取值范圍．
（Ⅱ）令，是否存在實數a，對任意x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導函數可得f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，
函數f（x）在區間（-1，1）不單調，等價于導函數f′（x）在（-1，1）既能取到大于0的實數，又能取到小于0的實數，即函數f′（x）在（-1，1）上存在零點，但無重根．
令f'（x）=0得x=a與x=-，則-1＜a＜1或-1＜-＜1，且a≠-，∴-5＜a＜1且
綜上-5＜a＜-或＜a＜1；
（Ⅱ）由題意，函數f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集
∵x∈[0，2]，，∴g（x）∈[-，6]；
令F（x）=f′（x）+2ax=3x²+2（1-a）x-a（a+2）+2ax=3x²+2x-a²-2a
∵x∈[-1，1]，∴F（x）∈[--a²-2a，5-a²-2a]
∴--a²-2a≥-且5-a²-2a≤6
∴-2≤a≤0
∴a∈[-2，0]
分析：（Ⅰ）函數f（x）在區間（-1，1）不單調，等價于導函數f′（x）在（-1，1）既能取到大于0的實數，又能取到小于0的實數，即函數f′（x）在（-1，1）上存在零點，但無重根；
（Ⅱ）由題意，函數f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集，分別求出值域，再建立不等式，即可得到結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的值域，將問題等價轉化是關鍵．