Question

已知直線所經過的定點恰好是橢圓的一個焦點,且橢圓上的點到點的最大距離為8.

   （1）求橢圓的標準方程；

   （2）已知圓,直線.試證明當點在橢圓上運動時,直線與圓恒相交；并求直線被圓所截得的弦長的取值范圍.

Answer 1

（1）橢圓的方程為   ；（2）直線被圓截得的弦長的取值范圍是

解析:

（1）由,

得,

   則由,解得F（3,0）

   設橢圓的方程為,則,

解得   所以橢圓的方程為  

   （2）因為點在橢圓上運動,所以,  

從而圓心到直線的距離.

     所以直線與圓恒相交

     又直線被圓截得的弦長為

       

由于,所以,則,

即直線被圓截得的弦長的取值范圍是