Question

已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物．血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病．下面是兩種化驗方法：
方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止．
方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗．若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗．
（Ⅰ）求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求ξ的期望．

Answer 1

分析：（1）由題意得到這兩種方案的化驗次數(shù)，算出在各個次數(shù)下的概率，寫出化驗次數(shù)的分布列，求出方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率．
（2）根據(jù)上一問乙的化驗次數(shù)的分布列，利用期望計算公式得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）若乙驗兩次時，有兩種可能：
①先驗三只結(jié)果為陽性，再從中逐個驗時，恰好一次驗中概率為：

C 2 4 A 3 3

A 3 5

 ×

1

A 1 3

 =

6×6

3×4×5

×

1

3

=

1

5

②先驗三只結(jié)果為陰性，再從其它兩只中驗出陽性（無論第二次試驗中有沒有，均可以在第二次結(jié)束）

A 3 4

A 3 5

A 1 2

A 2 2

=

24

5×3×4

=

2

5

，
∴乙只用兩次的概率為

1

5

+

2

5

=

3

5

．
若乙驗三次時，只有一種可能：
先驗三只結(jié)果為陽性，再從中逐個驗時，恰好二次驗中概率為在三次驗出時概率為

2

5

∴甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率為：

3

5

×(1-

1

5

)+

2

5

(1-

1

5

-

1

5

)=

12

25

+

6

25

=

18

25

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗次數(shù)，
∴ξ的期望為Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．

點評：期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)，學(xué)習(xí)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計知識做鋪墊．同時，它在市場預(yù)測，經(jīng)濟統(tǒng)計，風(fēng)險與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響．