Question

（(本小題滿分14分)
已知函數是函數的極值點。
（Ⅰ）當時，求a的值，討論函數的單調性；
（Ⅱ）當R時，函數有兩個零點，求實數m的取值范圍.
（Ⅲ）是否存在這樣的直線，同時滿足：
①是函數的圖象在點處的切線   
②與函數 的圖象相切于點，
如果存在，求實數b的取值范圍；不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）,
．                                    ．．．．1分
由已知得，解得a=1．               ……2分
．
當時，，當時，．又，    ．．．．3分
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減． ………4分
（2）由（1）知，當時，單調遞減，
當，單調遞增，.        ………………2分
要使函數有兩個零點，則函數的圖象與直線有兩個不同的交點.
①當時，m=0或；                                  ．．．．3分
②當b=0時，；                                     ．．．．4分
③當.                                                                                        ．．．．5分
（3）假設存在，時，

函數的圖象在點處的切線的方程為：      ．．．．1分
直線與函數的圖象相切于點，
，，所以切線的斜率為
所以切線的方程為
即的方程為：                                                     …………2分
得
得其中                     ．．．．3分
記其中

令                                        ．．．．4分

		1
	+	0	-
		極大值

又，

所以實數b的取值范圍的集合：         …………5分

略