Question

【題目】已知函數.

（1）確定函數在定義域上的單調性，并寫出詳細過程；

（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先求導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，進而確定單調性（2）調整不等式為在上恒成立.再利用導數研究函數單調性：當時，函數單調遞增，最大值趨于正無窮 ，不符題意；當時，函數先增再減，最大值為，滿足題意；當時，最大值大于，不符題意

試題解析：（1）函數的定義域為，

令，則有，

令，解得，

所以在上， ， 單調遞增，在上， ， 單調遞減.

又，所以在定義域上恒成立.

即在定義域上恒成立，

所以在上單調遞減，在上單調遞減.

（2）由在上恒成立得： 在上恒成立.

整理得： 在上恒成立.

令，易知，當時， 在上恒成立不可能， ，

又， ，

1°當時， ，又在上單調遞減，所以在上恒成立，則在上單調遞減，又，所以在上恒成立.

2°當時， ， ，又在上單調遞減，

所以存在，使得，

所以在上，在上，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

又，所以在上恒成立，

所以在上恒成立不可能.

綜上所述， .