Question

如圖，已知四邊形ABCD是邊長為4cm的正方形，直線AD垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，點E是該圓上異于A，B的一點，連接AE、BE、DE、CE．
（1）求證：平面ADE⊥平面BCE；
（2）若∠BAE=30°，求幾何體CD-ABE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設以AB為直徑的圓所在的平面為α，根據AD與平面α垂直，得到BE⊥AD，再根據直徑所對的圓周角為直角，得到BE⊥AE．結合線面垂直的判定定理，得到BE⊥平面ADE，最后利用面面垂直的判定定理，得到平面ADE⊥平面BCE；
（2）過點E作EF⊥AB于F，結合已知條件AD⊥平面ABE，得到EF⊥AD，從而EF垂直于平面ABCD內兩條相交直線，得到EF⊥平面ABCD，可得EF是四棱錐E-ABCD的高線．然后在Rt△ABE和Rt△AEF中，分別求出AE、EF長，得到四棱錐E-ABCD的高線等于，最后用棱錐的體積公式，求出V=•S_{正方形ABCD}•EF=，即為幾何體CD-ABE的體積．
解答：解：（1）設以AB為直徑的圓所在的平面為α，
∵AD⊥α，BE?α
∴BE⊥AD
∵AB是圓的直徑，E點在圓上，
∴BE⊥AE
∵AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，
∵BE?平面BCE
∴平面BCE⊥平面ADE，即平面ADE⊥平面BCE；
（2）過點E作EF⊥AB于F，
∵AD⊥平面ABE，EF?平面ABE，
∴EF⊥AD
又∵EF⊥AB，AB∩AD=A，AB、AD?平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，可得EF是四棱錐E-ABCD的高線，
∵Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=4，
∴AE=ABcos30°=2
∴Rt△AEF中，EF=AEsin30°=
因此四棱錐E-ABCD的體積為V=•S_{正方形ABCD}•EF=×4²×=
即：幾何體CD-ABE的體積是．
點評：本題給出一個特殊的四棱錐，通過求證面面垂直和求體積，著重考查了空間直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定和性質，考查了錐體體積公式，屬于中檔題．