Question

（1）用坐標(biāo)法證明余弦定理：已知在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：a²=b²+c²-2bccosA；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知2b=a+c，求角B的最大值；
（3）如果三個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a²=b²+c²-2bccosA，A∈（0，π），那么是否存在以a，b，c為三邊的三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C（bcosA，bsinA），B（c，0），由此可證余弦定理；
（2）由已知的等式表示出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把表示的b代入利用基本不等式即可求出cosB的最大值，由B的范圍及余弦函數(shù)在此范圍內(nèi)為減函數(shù)，即可得到角B的最大值．
（3）用反證法證明．假設(shè)不存在以a，b，c為三邊的三角形，即 c+b＜a，兩邊平方，再代入條件，引出矛盾，從而得證．

解答：解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C（bcosA，bsinA），B（c，0）
∴

BC

=(c-bcosA，bsinA)
∴a²=（c-bcosA）²+（bsinA）²=b²+c²-2bccosA；

（2）由2b=a+c，得到b=

a+c

2

，
則cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 4 )2

2ac

=

3a2+3c2-2ac

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

，
由B∈（0，180°），cosB為減函數(shù)，
所以內(nèi)角B的最大值為60°．
（3）不妨假設(shè)不存在以a，b，c為三邊的三角形，即 c+b＜a
∴c²+b²+2cb＜b²+c²-2bccosA
∴cosA＜-1
∵A∈（0，π），
∴矛盾
故假設(shè)不成立，即存在以a，b，c為三邊的三角形

點(diǎn)評(píng)：本題以三角形為載體，考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理化簡(jiǎn)求值，掌握余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是一道中檔題．