Question

已知集合A的元素全為實數，且滿足：若a∈A，則

1+a

1-a

∈A．
（1）若a=2，求出A中其他所有元素．
（2）根據（1），你能得出什么結論？請證明你的猜想（給出一條即可）．

Answer 1

分析：（1）根據條件，可知2∈A，依據定義可知-3∈A，依此類推可知，A中其它的元素．
（2）根據（1）進行猜想，然后進行證明．

解答：解：（1）若a=2，則

1+2

1-2

=-3∈A，由-3∈A，則

1+(-3)

1-(-3)

=-

1

2

∈A，此時

1+(- 1 2 )

1-(- 1 2 )

=

1

3

∈A，

1+ 1 3

1- 1 3

=2∈A．
故A中元素為2，-3，-

1

2

，

1

3

．
（2）猜想：①A中沒有元素-1，0，1；②A中有4個元素，且每兩個互為負倒數．
證明：①由上題知，0，1∉A，若0∈A，則

1+a

1-a

=0，得a=-1，當

1+a

1-a

=-1時，a不存在．
故-1∉A，故A中沒有元素-1，0，1；
②設a₁∈A，則a2=

1+a1

1-a1

∈A，⇒a3=

1+a2

1-a2

=-

1

a1

∈A，⇒a4=

1+a3

1-a3

=

a1-1

a1+1

∈A⇒a5=

1+a4

1-a4

=a1∈A，
又由集合元素的互異性可知，A中最多只有4個元素，a₁，a₂，a₃，a₄，且a₁a₃=-1，a₂a₄=-1，
則a₁≠a₃，a₂≠a₄．
若a₁=a₃，即a1=

1+a1

1-a1

，得

a

2 1

+1=0，此時方程無解；
故則a₁≠a₃，a₂≠a₄．
∴A中有4個元素．

點評：本題主要考查集合的應用，根據條件進行遞推是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．