Question

在各項均為正數的數列{a_n}中，已知點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數y=2x的圖象上，且a₂•₅=8
（1）求證：數列{a_n}是等比數列，并求出其通項公式；
（2）若數列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=a_n+n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，a_n+1=2a_n，從而可證數列{a_n}是等比數列，再由a₂•₅=8可求得a₁，繼而可求其通項公式；
（2）b_n=a_n+n，利用分組求和的方法即可求得數列{b_n}的前n項和為S_n．

解答：證明：（1）∵點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數y=2x的圖象上，
∴a_n+1=2a_n，即

an+1

an

=2，
∴數列{a_n}是公比為2的等比數列；
設其公比為q，則q=2，
∵a₂•₅=8，
∴a₁q•a₁q⁴=a12•q⁵=8，
∴a12=

8

25

=

1

4

，又數列{a_n}各項均為正數，
∴a₁=

1

2

，
∴a_n=

1

2

×2^n-1=2^n-2；
（2）解：∵b_n=a_n+n=2^n-2+n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（2^-1+2⁰+2¹+…+2^n-2）+（1+2+3+…+n）
=

1 2 (1-2n)

1-2

+

(1+n)×n

2

=2^n-1+

1

2

n²+

1

2

n-

1

2

．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等比關系的確定，考查分組求和與數列的函數特性，屬于中檔題．