Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為

2

的正方形，EC⊥平面CDAB，EF∥CA，點O是AC與BD的交點，CE=EF=1．
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求證：CF⊥平面BDE；
（3）求二面角A-BE-D的大小．

Answer 1

分析：（1）設AC與BD的交點為O，則DO=BO=

1

2

BD，連接EO，則可證出四邊形EFAO是平行四邊形，從而AF∥EO，由線面平行的判定定理，可得AF∥平面BDE；
（2）連接FO，可證明四邊形CEFO是正方形，可得對角線CF⊥EO．可證ED=EB又OD=OB，所以EO⊥BD，從而可證明CF⊥平面BDE．也可以建立空間直角坐標系，利用兩直線垂直與兩條直線的方向向量的數量積為零的關系來證明．
（3）通過可以建立空間直角坐標系，先求出二面角的兩半平面的法向量的夾角，進而即可求出二面角的平面角．

解答：解：（1）連接EO，∵正方形ABCD的邊長為

2

，∴其對角線AC=2．
∵EF∥CO，且EF=1，AO=

1

2

AC=1，
∴四邊形AOEF為平行四邊形，∴AF∥OE．
又∵EO?平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE．
（2）證法一：連接OF，∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥CO，EC⊥CD，EC⊥DB．
又∵EF∥CO，CE=EF=CO=1，∴四邊形CEFO是正方形，∴CF⊥EO．
又∵CD=CB=

2

，∴DE=BE．
∵O是BD的中點，∴EO⊥BD．
∵EC∩EO=E，∴DB⊥平面CEFO，∴DB⊥CF．
而EO∩BD=O，∴CF⊥平面BDE．
證法二：由已知條件建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，
可知C（0，0，0），A（

2

，

2

，0），B（0，

2

，0），D（

2

，0，0），E（0，0，1），F(

2

2

，

2

2

，1)．
∴

CF

=(

2

2

，

2

2

，1)，

BE

=(0，-

2

，1)，

DE

=(-

2

，0，1)．
∵

CF

•

BE

=0-1+1=0，∴CF⊥BE；
∵

CF

•

DE

=-1+0+1=0，∴CF⊥DE．
∵BE∩DE=E，∴CF⊥平面BDE．
（3）設平面BDE的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，∴

n1

•

BE

=0，

n1

•

DE

=0，
得

- 2 y1+z1=0 - 2 x1+z1=0

，令z1=

2

，則y₁=1，x₁=1，∴

n1

=(1，1，

2

)．
設平面ABE的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，∵

AE

=(-

2

，-

2

，1)，

AB

=(-

2

，0，0)，
∴

n2

•

AE

=-

2

x2-

2

y2+z2=0，

n2

•

AB

=-

2

x2=0．
∴x₂=0．令z2=

2

，則y₂=1，∴

n2

=(0，1，

2

)．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

0+1+2

4 × 3

=

3

2

．∴＜

n1

，

n2

＞=

π

6

．
由圖可知二面角A-BE-D的平面角為

π

6

．

點評：本題綜合考查了線面的平行、垂直及二面角的平面角，熟練掌握判定定理和性質定理及通過建立空間直角坐標系利用數量積等于0與垂直的關系是解題的關鍵．