Question

已知函數f（x）=

x

4

+

a

x

-lnx-

3

2

，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=

1

2

x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間與極值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=

1

2

x可得f′（1）=-2，可求出a的值；
（Ⅱ）根據（I）可得函數的解析式和導函數的解析式，分析導函數的符號，進而可得函數f（x）的單調區間與極值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

x

4

+

a

x

-lnx-

3

2

，
∴f′（x）=

1

4

-

a

x2

-

1

x

，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=

1

2

x．
∴f′（1）=

1

4

-a-1=-2，
解得：a=

5

4

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=

x

4

+

5

4x

-lnx-

3

2

，
f′（x）=

1

4

-

5

4x2

-

1

x

=

x2-4x-5

4x2

（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=-1（舍），
∵當x∈（0，5）時，f′（x）＜0，當x∈（5，+∞）時，f′（x）＞0，
故函數f（x）的單調遞增區間為（5，+∞）；
單調遞減區間為（0，5）；
當x=5時，函數取極小值-ln5．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究曲線上某點切線方程，利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的極值，是導數的綜合應用，難度中檔．