Question

設

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），記f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]時，函數g（x）=f（x）+m的最小值為2，求函數g（x）的最大值并指出此時x的取值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式，結合二倍角公式，輔助角公式，化簡函數，從而可求出函數的周期；
（2）根據x∈[-

π

6

，

π

3

]求出函數g（x）的值域，根據g（x）=f（x）+m的最小值為2求出m的值，從而可求出函數g（x）的最大值，求出相應的x即可．

解答：解：（1）∵

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），f（x）=

a

•

b

．
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos²x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

∴函數f（x）的最小正周期為

2π

2

=π
（2）由（1）可知g（x）=f（x）+m=sin（2x+

π

6

）+

1

2

+m
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]則g（x）=f（x）+m=sin（2x+

π

6

）+

1

2

+m的取值范圍為[m，

3

2

+m]
而函數g（x）=f（x）+m的最小值為2
∴m=2，函數g（x）的最大值為

7

2

此時x的取值為x=

π

6

點評：本題主要考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查函數的單調性與最值，正確化簡函數是關鍵，屬于中檔題．