Question

（本小題滿分12分）已知函數。
（I）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若恒成立，試確定實數k的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

Answer 1

（I）當時，增區間；當時，增區間減區間（Ⅱ）（Ⅲ）當時有恒成立，恒成立，即上恒成立，令，則，即，從而，所以有成立

試題分析：（I）函數
當時，則上是增函數
當時，若時有
若時有則上是增函數，
在上是減函數               ………（4分）
（Ⅱ）由（I）知，時遞增，
而不成立，故  
又由（I）知，要使恒成立，
則即可。 由………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時有恒成立，
且上是減函數，，
恒成立，
即上恒成立 。……………………（10分）
令，則，即，
從而，
成立……（14分）
點評：第一問中求單調區間要對參數k分情況討論，第二問將不等式恒成立問題轉化為求函數最大值問題，這是函數與不等式間常用的轉化方法，第三問難度較大需要構造函數，學生不易掌握