Question

（本題滿分１２分）

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

   

    （I）求證：平面BCD；

    （II）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

    （III）求點E到平面ACD的距離。

 

Answer 1

【答案】

（I）證明：見解析；（II）異面直線AB與CD所成角的余弦值為；

（III）點E到平面ACD的距離為

【解析】本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．

（I）欲證AO⊥平面BCD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內兩相交直線垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，滿足定理；

（II）以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，異面直線AB與CD的向量坐標，求出兩向量的夾角即可；

（III）求出平面ACD的法向量，點E到平面ACD的距離轉化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．

（I）證明：連結OC

   

   

    在中，由已知可得

    而      即

        平面

    （II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知

    直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角

    在中，

   

    是直角斜邊AC上的中線，  

    異面直線AB與CD所成角的余弦值為

    （III）解：設點E到平面ACD的距離為

        在中，

         而

      點E到平面ACD的距離為