Question

（2007•奉賢區(qū)一模）某廠擬更換一部發(fā)電機(jī)，B型發(fā)電機(jī)的購(gòu)價(jià)比A型發(fā)電機(jī)購(gòu)價(jià)多1000元，但每使用完一個(gè)月可節(jié)約使用費(fèi)50元．現(xiàn)若按1%的月折現(xiàn)率計(jì)算（月折現(xiàn)率1%，是指一個(gè)月后的1元，相當(dāng)于現(xiàn)值的

1

1+1%

元；如：B型發(fā)電機(jī)使用完第1個(gè)月可節(jié)約使用費(fèi)相當(dāng)于現(xiàn)值的50×

1

1+1%

元），問：
（1）B型發(fā)電機(jī)使用2個(gè)月可節(jié)約使用費(fèi)相當(dāng)于現(xiàn)值的多少元？（結(jié)果精確到0.1元）
（2）若該廠更換B型發(fā)電機(jī)，則至少使用多少月才比更換A型發(fā)電機(jī)合算（結(jié)果精確到月）？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知使用2個(gè)月可節(jié)約使用費(fèi)相當(dāng)于現(xiàn)值的50×

1

1+1%

+50（

1

1+1%

）²；
（2）先求出使用n個(gè)月節(jié)約費(fèi)用相當(dāng)于的現(xiàn)值，然后建立現(xiàn)值大于1000，最后利用對(duì)數(shù)解指數(shù)不等式即可．

解答：解：（1）使用2個(gè)月可節(jié)約使用費(fèi)相當(dāng)于現(xiàn)值的50×

1

1+1%

+50（

1

1+1%

）²=50[

1

1.01

+（

1

1.01

）²]≈98.5（元）．
（2）B型發(fā)電機(jī)使用3個(gè)月節(jié)約費(fèi)用相當(dāng)于現(xiàn)值的50×[

1

1.01

+（

1

1.01

）²+（

1

1.01

）³]，使用n個(gè)月節(jié)約費(fèi)用相當(dāng)于現(xiàn)值的50[

1

1.01

+（

1

1.01

）²+…+（

1

1.01

）ⁿ]．（6分）
設(shè)更換B型發(fā)電機(jī)至少使用n個(gè)月才比較合算，則50[

1

1.01

+（

1

1.01

）²+…+（

1

1.01

）ⁿ]＞1000，（3分）
即50•

1 1.01 [1-( 1 1.01 )n]

1- 1 1.01

＞1000．（2分）
∴1.01ⁿ＞

5

4

，nlg1.01＞lg

5

4

⇒n＞

1-3lg2

lg1.01

≈⇒

22.5 n∈N

n≈23．（2分）
答：若該廠更換B型發(fā)電機(jī)，則至少使用23月才比更換A型發(fā)電機(jī)合算（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及等比數(shù)列的求和，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．