Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E、F分別為棱AA₁、CC₁的中點，O是AC，BD的交點．
（1）證明：B₁D₁⊥OF； 
（2）證明：平面EB₁D₁∥平面BDF．

Answer 1

分析：（1）先證明OF⊥BD，再證明B₁D₁∥BD，即可得到結論；
（2）證明線面平行，即ED₁∥平面EB₁D₁，即可證明平面EB₁D₁∥平面BDF．

解答：證明：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是正方體
∴DF=BF，O是AC的中點，∴OF⊥BD
又∵BB₁∥DD₁，∴BB₁D₁D是平行四邊形
∴B₁D₁∥BD，∴B₁D₁⊥OF…（6分）
（2）由（1）知B₁D₁∥BD，而B₁D₁?平面EB₁D₁，BD?平面EB₁D₁
∴BD∥平面EB₁D₁
取DD₁中點G，連接FG，∴FG∥AB且GF=AB
∴ABFG是平行四邊形，∴AG∥BF
又∵AE∥GD₁且AE=GD₁，∴EAGD₁是平行四邊形
∴AG∥ED₁，ED₁∥BF
而ED₁?平面EB₁D₁，BF?平面EB₁D₁，∴ED₁∥平面EB₁D₁
又ED₁∩B₁D₁=D₁，ED₁，B₁D₁?平面EB₁D₁
∴平面EB₁D₁∥平面BDF．…（14分）

點評：本題考查線線垂直，考查面面平行，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．