Question

【題目】已知橢圓 ，四點，，，中恰有三點在橢圓上.

（I）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過的右焦點作斜率為的直線與交于，兩點，直線與軸交于點，為線段的中點，過點作直線于點.證明：，，三點共線.

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（I）根據橢圓的對稱性，得到，在橢圓上，不在橢圓上，將點，代入橢圓的方程，聯立得到，，即可求出橢圓方程。

（Ⅱ）設直線的方程為，代入橢圓方程，由于為線段的中點、直線于點，所以點、點，分別得到、的表達式，然后相減檢驗是否為0，若為0，即三點共線。

（I）根據橢圓對稱性，必過，，又，不在上，

∴ ∴ ，，∴橢圓的方程為.

（Ⅱ），設直線的方程為，

代入橢圓方程，得，

設，，則，，

易知，，，，

，

∴，∴，，三點共線.