Question

已知二次函數y=g（x）在（-∞，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增，最小值為m-1（m≠0），且y=g（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行，設f(x)=

g(x)

x

．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）上的點P到點Q（0，-2）的距離的最小值為

2

，求m的值；
（Ⅱ）若m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0在x∈[-1，1]上有實數解，求實數k的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據二次函數y=g（x）在（-∞，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增，最小值為m-1（m≠0），可知函數在x=1時有最小值，為m-1這樣，就可設出函數的頂點式，根據g（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行，求出a的值，把f（x）化簡，用兩點間的距離公式求出|PQ|，用含m的式子表示，根據|PQ|的最小值為

2

，求m的值．
（2）先把方程f（2^x）-k•2^x=0化簡為2x+

1

2x

-2=k•2x1+(

1

2x

)2-2

1

2x

=k，分離k與x，把

1

2x

=t看做一個整體，1+(

1

2x

)2-2

1

2x

就可看作關于

1

2x

=t的二次函數，判斷此函數的單調性，求出值域，m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0在x∈[-1，1]上有實數解，則k的值應該在二次函數的值域中．據此解出k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）依題可設g（x）=a（x-1）²+m-1（a≠0），則g'（x）=2a（x-1）=2ax-2a；
又g′（x）的圖象與直線y=2x平行∴2a=2，a=1  
∴g（x）=（x-1）²+m+1=x²-2x+m，f(x)=

g(x)

x

=x+

m

x

-2，
設P（x₀，y₀），則|PQ|²=x₀²+（y₀+2）²=x02+(x0+

m

x0

)2
=2

x

2 0

+

m2

x 2 0

+2m≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m
當且僅當2

x

2 0

=

m2

x 2 0

時，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值

2

當m＞0時，

(2 2 +2)m

=

2

   解得m=

2

-1m=

2

-1
當m＜0時，

(-2 2 +2)m

=

2

  解得m=-

2

-1            
（Ⅱ）m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0化為2x+

1

2x

-2=k•2x1+(

1

2x

)2-2

1

2x

=k，
令

1

2x

=t，k=t²-2t+1
∵x∈[-1，1]∴t∈[

1

2

，2]記∅（t）=t²-2t+1
∴∅（t）在t∈[

1

2

，1]上單調遞減，在t∈[1，2]上單調遞增，
∴?(

1

2

)=(1-

1

2

)2=

1

4

∅（2）=（2-1）²=1F（1）=（1-1）²=0
根據題意 方程k=t²-2t+1在t∈[

1

2

，2]內有實數解，∴0≤k≤1

點評：本題主要考查了利用函數單調性求值域，以及一元二次方程根的分布的判斷．