Question

如圖，已知點H（-3，0），動點P在y軸上，點Q在x軸上，其橫坐標不小于零，點M在直線PQ上，且滿足，．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過定點F（1，0）作互相垂直的直線l與l'，l與（1）中的軌跡C交于A、B兩點，l'與（1）中的軌跡C交于D、E兩點，求四邊形ADBE面積S的最小值；
（3）（在下列兩題中，任選一題，寫出計算過程，并求出結果，若同時選做兩題，
則只批閱第②小題，第①題的解答，不管正確與否，一律視為無效，不予批閱）：
①將（1）中的曲線C推廣為橢圓：，并
將（2）中的定點取為焦點F（1，0），求與（2）相類似的問題的解；
②（解答本題，最多得9分）將（1）中的曲線C推廣為橢圓：，并
將（2）中的定點取為原點，求與（2）相類似的問題的解．

Answer 1

【答案】分析：（1）設M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），，，，由，得0，從而，，由，得HP⊥PM，由此能求出M的軌跡C．
（2）設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l'的方程為，（k≠0），設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由，得ky²-4y-4k=0，故，同理|DE|=4（1+k²）由此能求出四邊形ADBE面積S的最小值．
（3）①當k≠0時設直線l的方程為y=k（x-1），由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，故，，由此能求出四邊形ADBE面積S的最小值．
②由題設，設直線l的方程為y=kx，當k≠0時，由，得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，所以，同理，由此能求出四邊形ADBE面積S的最小值．
解答：解：（1）設M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），易知，，，由題設，
得其中a≥0，從而，，且x≥0，
又由已知，得HP⊥PM，
當b≠0時，y≠0，此時，得，
又k_PM=k_PQ，故，，即，y²=4x（x≠0），
當b=0時，點P為原點，HP為x軸，PM為y軸，點Q也為原點，從而點M也為原點，因此點M的軌跡C的方程為y²=4x，它表示以原點為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線；                                         （4分）
（2）由題設，可設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l'的方程為，（k≠0），又設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則由，消去x，整理得ky²-4y-4k=0，
故，同理|DE|=4（1+k²），（7分）
則，當且僅當k=±1時等號成立，因此四邊形ADBE面積S的最小值為32．（9分）
（3）①當k≠0時可設直線l的方程為y=k（x-1），
由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
故，，（12分），
當且僅當k²=1時等號成立．（14分）
當k=0時，易知，，得，故當且僅當k²=1時四邊形ADBE面積S有最小值．（15分）
②由題設，可設直線l的方程為y=kx，當k≠0時，由，
消去x，整理得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，得，
同理，（12分）
則，其中k²＞0，
若令u=1+k²，則由=，其中u＞1，即，故當且僅當u=2，即k²=1時，v有最大值，由，得S有最小值，故當且僅當k=±1時，四邊形ADBE面積S有最小值為．（17分）
又當k=0時，|AB|=2a，|DE|=2b，此時S=2ab，由，得當且僅當k=±1時，四邊形ADBE面積S有最小值為．（18分）
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．