Question

已知向量

m

=(2，-

3

cosx)，

n

=(cos2x，2sinx)，函數f(x)=

m

•

n

-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）求函數f(x)在區間[-

π

3

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積，二倍角公式兩角差的余弦函數化簡函數的表達式，然后求函數f（x）的最小正周期，結合余弦函數的單調增區間求函數的單調遞增區間；
（2）確定函數f(x)在區間[-

π

3

，

π

6

]上的單調增區間，單調減區間，然后求出函數的最大值最小值，即可確定函數的值域．

解答：解：（1）

m

=(2，-

3

cosx)，

n

=(cos2x，2sinx)，∴函數f(x)=

m

•

n

-1
=(2，-

3

cosx)•(cos2x，2sinx)=2cos²x-2

3

sinxcosx-1
=cos2x-

3

sin2x=2cos（2x+

π

3

）
∴函數f（x）的最小正周期T=π．
由2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ  k∈Z．即kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

   k∈Z
函數單調增函數，所以函數f（x）的單調增區間[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]k∈Z
 （2）因為函數f(x)在區間[-

2π

3

，-

π

6

]單調遞增，f(x)在區間[-

π

6

，

π

3

]上單調遞減；又∵f(-

π

3

) =1， f(

π

6

) =-1
所以函數f（x）在[-

2π

3

，-

π

6

]上：f(x)max= f(-

π

6

) =2，
f(x)min= f(

π

6

) =-1
∴函數f(x)在區間[-

π

3

，

π

6

]上的值域[-1，2]．

點評：本題是基礎題，考查向量數量積的應用，三角函數的化簡求值，單調區間的求法，最值的求法，考查計算能力，注意函數值域的確定中，區間的討論，單調性的應用是解題的易錯點．