Question

（08年黃岡市質(zhì)檢文） （13分） 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線交于、.

⑴求證:△不是直角三角形；

⑵當(dāng)的斜率為時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使△為直角三角形且為直角（在軸下方）？若存在，求出所有的點(diǎn)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解析：（1）∵焦點(diǎn)F為（1，0），過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于點(diǎn)A、B的所有直線可設(shè)為，

代入拋物線得：，則有，…………………（2分）

進(jìn)而.…………………（4分）

又，

得為鈍角，故△不是直角三角形。…………………（6分）

（2）由題意得AB的方程為，代入拋物線

求得…………………（8分）

假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C（），使△為直角三角形且為直角，

此時(shí)，以為直徑的圓的方程為，將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：

整理得：…………………（10分）

解得對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)………………（12分）

則存在使△為直角三角形。

故滿足條件的點(diǎn)C有一個(gè)：…………………（13分）