Question

已知△ABC的周長為6，成等比數列，求△ABC的面積S的最大值

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：設出三向量的模分別為a，b及c，根據周長為6列出關于a+b+c=6，再由a，b及c成等邊數列，根據等比數列的性質得到b²=ac，然后由余弦定理表示出cosB，把b²=ac代入，并利用基本不等式求出cosB的最小值，根據余弦函數的圖象得到B的范圍，同時由b=及基本不等式列出關于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范圍，根據三角形的兩邊之差小于第三邊列出不等式，由三角形的周長及b²=ac，得到關于b的一元二次不等式，求出不等式的解集可得b的范圍，由a，b及sinB，根據三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把ac化為b²后，根據b的最大值及B度數的最大值，得到S的最大值即可．
解答：依次為a，b，c，則a+b+c=6，b²=ac，
由余弦定理得：cosB==≥=，
∴0＜B≤，
又b=≤=，從而0＜b≤2，
∵△ABC三邊依次為a，b，c，則a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，b＞，
∴＜b≤2，
∴S=acsinB=b²•sinB≤•2²•sin=，
則S的最大值為．
故選C
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有等比數列的性質，余弦定理，基本不等式，一元二次不等式的解法，三角形的面積公式，平面向量的數量積運算，以及二次函數最值的求法，其中根據余弦定理，等比數列的性質及不等式的解法得出B及b的范圍是解本題的關鍵．