Question

在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小及角A的取值范圍；
（2）設

.

m

=（sinA，1），

.

n

=（3，cos2A），試求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡，根據sinA不為0，得到cosB的值，由B為銳角，利用特殊角的三角函數值求出B的度數，由B的度數及三角形ABC為銳角三角形，即可求出A的范圍；
（2）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則表示出

m

•

n

，再利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后得到關于sinA的二次函數，由A的范圍，根據正弦函數的圖象與性質得到sinA的范圍，利用二次函數的性質即可求出

m

•

n

的最大值．

解答：解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，…（2分）
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，又sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，…（5分）
又B為銳角，∴B=60°，
∵△ABC是銳角三角形，即A為銳角，
∴30°＜A＜90°；…（6分）
（2）∵

.

m

=（sinA，1），

.

n

=（3，cos2A），
∴

m

•

n

=3sinA+cos2A=-2sin²A+3sinA+1=-2（sinA-

3

4

）²+

17

8

，…（10分）
∵30°＜A＜90°，∴

1

2

＜sinA＜1，
∴當sinA=

3

4

時，

m

•

n

的最大值為

17

8

．…（12分）

點評：此題考查了正弦定理，誘導公式，兩角和與差的正弦函數公式，平面向量的數量積運算，正弦函數的定義域與值域，以及二次函數的性質，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．