Question

已知函數．
（Ⅰ）設，求t的取值范圍；
（Ⅱ）關于x的方程f（x）-m=0，x∈[0，1]，存在這樣的m值，使得對每一個確定的m，方程都有唯一解，求所有滿足條件的m．
（Ⅲ）證明：當0≤x≤1時，存在正數β，使得不等式成立的最小正數α=2，并求此時的最小正數β．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）兩邊平方，借助于函數定義域x∈[-1，1]，求得t 的取值范圍是；（Ⅱ）只需要求出函數x∈[0，1]的值域即可知m值的范圍；（Ⅲ）將問題等價轉化為 恒成立，∴=，從而求出最小正數．
解答：解：（Ⅰ）函數定義域x∈[-1，1]，，∵t≥0，∴，即t 的取值范圍是 （Ⅱ），由（Ⅰ），，g（t） 在 單調遞增，所以．設x₁，x₂∈[0，1]，x₁≠x₂，則1-x₁²≠1-x₂²，即，即t₁≠t₂．故存在m，使得對每一個 ，方程都有唯一解x∈[0，1]．
（Ⅲ）===．以下證明，對0＜α0，不等式 （0≤x≤1）不成立．反之，由 ，亦即x^2-α 成立，因為2-α＞0，，但f（0）=8，這是不可能的．這說明α=2 是滿足條件的最小正數．這樣，不等式 （x∈[0，1]） 恒成立，即 恒成立，∴=，最小正數β=4
點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及分類討論的思想，解題的關鍵是對于恒成立的理解，是一道綜合題