Question

如圖，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且經過點P（1，

3

2

）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）O為坐標原點，A，B，C是橢圓E上不同的三點，并且O為△ABC的重心，試探究△ABC的面積是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：探究型,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）運用橢圓的離心率公式，和橢圓的方程，結合a²-b²=c²，求出a，b，c．
（2）設直線AB的方程為y=kx+m，聯立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理，求出x₁+x₂，y₁+y₂，運用重心公式，

OA

+

OB

+

OC

=

0

，再運用弦長公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|，再運用面積公式即可得到結論．

解答： 解：（1）依題意，e=

c

a

=

1

2

，且

1

a2

+

9

4b2

=1，a²-b²=c²，
∴a=2，b=

3

，c=1，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設直線AB的方程為y=kx+m，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴

x1+x2= -8km 3+4k2 x1x2= 4m2-12 3+4k2

，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

6m

3+4k2

，
∵O為重心，∴

OC

=-(

OA

+

OB

)=(

8km

3+4k2

，

-6m

3+4k2

)，
∵C在橢圓上，∴

( 8km 3+4k2 )2

4

+

( -6m 3+4k2 )2

3

=1，
可得，4m²=4k²+3，
而|AB|=

1+k2

( -8km 3+4k2 )2-4•( 4m2-12 3+4k2 )

=

4 1+k2

3+4k2

12k2+9-3m2

d=

|kxC+m-yC|

1+k2

=

|3m|

1+k2

（或利用d是O到AB的距離的3倍得到）
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

6|m|

3+4k2

12k2+9-3m2

=

6|m|

4m2

12m2-3m2

=

9

2

若直線AB的斜率不存在時，|AB|=3，d=3，S_△ABC=

9

2

，
∴△ABC的面積為定值

9

2

．

點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關系，以及弦長公式的運用，同時考查橢圓的方程和幾何性質，考查運算能力．