Question

設n∈N⁺且n≥2，證明：+2[a₁（a₂+a₃+…+a_n）+a₂（a₃+a₄+…+a_n）+…+a_n-1a_n]．

Answer 1

證明：（1）當n=2時，有，命題成立．
（2）假設當n=k（k≥2）時，命題成立，
即+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k）+a₂（a₃+a₄+…+a_k）+…+a_k-1a_k]成立，
那么，當n=k+1時，有=
=+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k）+a₂（a₃+a₄+…+a_k）+…+a_k-1a_k]+2（a₁+a₂+…
=+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k+a_k+1）+a₂（a₃+a₄+…+a_k+a_k+1）+…+a_ka_k+1]．
所以當n=k+1時，命題也成立．
根據（1）和（2），可知結論對任意的n∈N^*且n≥2都成立．
分析：直接利用數學歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證n=2時不等式成立；（2）假設當n=k（k≥2）時成立，利用上假設證明n=k+1時，不等式也成立．
點評：本題是中檔題，考查數學歸納法的證明步驟和方法，注意證明n=k+1時，必須用上假設，這是易錯點．