Question

已知橢圓（＞＞0）的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（ ，0），點（0，）在線段的垂直平分線上，且，求的值.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4即，在結合和可解得的值。（2）分析可知直線斜率存在，可設其方程為，將直線方程和橢圓方程聯立消去整理為關于的一元二次方程，由韋達定理可得根與系數的關系，其中一個根為另一個跟為點的橫坐標。根據在線段的垂直平分線上和可求的值。需注意對為0時的討論。

試題解析：（1）【解析】
由， 1分

得，再由，得 2分

由題意可知， 3分

解方程組 得：

所以橢圓的方程為： 4分

（2）【解析】
由（1）可知．設點的坐標為,

直線的斜率顯然所在，設為，則直線的方程為, 5分

于是兩點的坐標滿足方程組，由方程組消去并整理，

得 6分

由得 8分

設線段是中點為，則的坐標為

以下分兩種情況：

①當時，點的坐標為．線段的垂直平分線為軸，于是

由得 10分

②當時，線段的垂直平分線方程為

令，解得

整理得 13分

綜上 ． 14分

考點：1橢圓的標準方程；2直線和橢圓的位置關系。