Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝.

(1)證明：PC⊥BD；

(2)若E為PA的中點，求三棱錐P－BCE的體積．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)證明：連接AC，交BD于點O，連接PO.

因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.

由PB＝PD知，PO⊥BD.

又因為PO∩AC＝O，所以BD⊥平面APC.

又PC?平面APC，因此BD⊥PC.

(2)因為E是PA的中點，

所以V三棱錐P－BCE＝V三棱錐C－PEB＝ V三棱錐C－PAB＝ V三棱錐B－APC.

由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.

因為∠BAD＝60°，

所以PO＝AO＝，AC＝2 ，BO＝1.

又PA＝，所以PO2＋AO2＝PA2，所以PO⊥AC，

故S△APC＝ PO·AC＝3.

由(1)知，BO⊥平面APC，

因此V三棱錐P－BCE＝ V三棱錐B－APC＝··BO·S△APC＝.