Question

【題目】如圖，在四棱錐，底面是平行四邊形，，底面，，，，分別為，的中點，為線段的中點.

（1）求證：面；

（2）求直線與平面所成的角.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由題意得EF⊥AP，AB⊥AC，，分別為，的中點，從而四邊形ABEF為平行四邊形，AB∥EF，進而AC⊥EF，由此能證明EF⊥面PAC．

（2）連接AE，AM，推導出AE⊥BC，AE⊥AD，AE⊥PA，從而AE⊥平面PAD，進而∠EMA是EM與平面PAD所成的角，由此能求出直線ME與平面PAD所成角．

（1）證明：∵PA⊥面ABCD，EF面ABCD，∴EF⊥AP，在△ABC中，AB＝AC，，

在平行四邊形中，得∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB⊥AC，且，分別為，的中點，

∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴AB∥EF，∴AC⊥EF，

∵AP∩AC＝C，AP面PAC，AC面PAC，∴EF⊥面PAC.

（2）連接AE，AM，△ABC中，∵AB＝AC，E為BC的中點，∴AE⊥BC，平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴AE⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，∴AE⊥PA，∵PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，

∴AM是EM在平面PAD中的射影，∴∠EMA是EM與平面PAD所成的角，

等腰直角三角形ABC，AB＝AC＝2，∴BC＝AB＝2，∴AD＝2，，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，∵PA＝4，∴PD＝，

又M為PD的中點，故，在Rt△MAE中，tan∠EMA＝＝，

∴直線ME與平面PAD所成角的正切值為，所以直線與平面所成的角