Question

將直徑為的圓木鋸成長方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強度同它的斷面高的平方與寬的積成正比（強度系數為，）．要將直徑為的圓木鋸成強度最大的橫梁，斷面的寬應是____________

Answer 1

分析：據題意橫梁的強度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比（強度系數為k，k＞0）建立起強度函數，求出函數的定義域，再利用求導的方法求出函數取到最大值時的橫斷面的值。
解答：
設斷面高為h，則h²=d²-x²，
橫梁的強度函數f（x）=k?xh²，
所以f（x）=kx?（d²-x²），0＜x＜d。（5分）
當x∈（0，d）時，令f′（x）=k（d²-3x²）=0。
解得x=±（舍負）。
當0＜x＜時，f′（x）＞0；
當＜x＜d時，f′（x）＜0。
因此，函數f（x）在定義域（0，d）內只有一個極大值點x=。
所以f（x）在x=處取最大值，就是橫梁強度的最大值。
即當斷面的寬為時，橫梁的強度最大。
點評：考查據實際意義建立相關的函數，再根據函數的特征選擇求導的方法來求最值。