Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）上一點P（x，1）到焦點F的距離為2，
（1）求拋物線的方程；
（2）過點F的動直線l交拋物線于A、B兩點，求弦AB中點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的準線：y=-

p

2

，知點P到準線的距離為1+

p

2

=2，由此能求出拋物線方程．
（2）F（0，1），設AB方程為y=kx+1（k顯然存在），由

y=kx+1 x2=4y

⇒x2-4kx-4=0，由此能求出弦AB中點Q的軌跡方程．

解答：解：（1）拋物線的準線：y=-

p

2

，
∴點P到準線的距離為1+

p

2

=2，
∴p=2，
∴拋物線方程為x²=4y．
（2）F（0，1），設AB方程為y=kx+1（k顯然存在）
由

y=kx+1 x2=4y

⇒x2-4kx-4=0，（△＞0恒成立）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
則x₁+x₂=4k，
∵Q（x，y）是線段AB的中點，
∴

x= x1+x2 2 =2k y=kx+1

，
∴k=

x

2

，
∴y=

1

2

x2+1，
整理，得x²-2y+2=0．
故弦AB中點Q的軌跡方程為：x²-2y+2=0．

點評：本題考查拋物線方程的求法和求弦AB中點Q的軌跡方程．通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．