Question

已知命題p：指數函數f（x）=（2a-6）^x在R上單調遞減，命題q：關于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩個實根均大于3．若p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據指數函數的單調性求出命題p為真命題時a的范圍，利用二次方程的實根分布求出命題q為真命題時a的范圍；
據復合命題的真假與構成其簡單命題真假的關系將“p或q為真，p且q為假”轉化為p q的真假，列出不等式解得．

解答：解：若p真，則f（x）=（2a-6）^x在R上單調遞減，
∴0＜2a-6＜1，
∴3＜a＜

7

2

．
若q真，令f（x）=x²-3ax+2a²+1，則應滿足

△=(-3a)2-4(2a2+1)≥0 ，- -3a 2 ＞3 f(3)=9-9a+2a2+1＞0

∴

a≥2或a≤-2 a＞2 a＜2或a＞ 5 2

∴a＞

5

2

，
又由題意應有p真q假或p假q真．
①若p真q假，則

3＜a＜ 7 2 a≤ 5 2

，a無解．
②若p假q真，則

a≤3或a≥ 7 2 a＞ 5 2

∴

5

2

＜a≤3或a≥

7

2

．

點評：本題考查復合命題的真假與簡單命題真假的關系；考查二次方程實根分布．