Question

(本小題12分) 如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形, PA⊥底面ABCD, PA＝2,
∠PDA="45°," 點E、F分別為棱AB、PD的中點.

（1）求證: AF∥平面PCE;
（2）求證: 平面PCE⊥平面PCD;
（3）求AF與平面PCB所成的角的大小.

Answer 1

（1）證明見解析
（2）證明見解析
（3）30°

證明: （1）取PC的中點G，連結FG、EG，

∴FG為△CDP的中位線 ∴FGCD
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點
∴ABCD    ∴FGAE∴四邊形AEGF是平行四邊形∴AF∥EG  
又EG平面PCE，AF平面PCE∴AF∥平面PCE  
（2）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A
∴CD⊥平面ADP，又AF平面ADP        ∴CD⊥AF
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD為等腰直角三角形  ∴PA＝AD="2 "
∵F是PD的中點，∴AF⊥PD，又CDPD=D
∴AF⊥平面PCD   ∵AF∥EG　　∴EG⊥平面PCD
又EG平面PCE平面PCE⊥平面PCD
（3）過E作EQ⊥PB于Q點, 連QG, CB⊥面PAB
∴QE⊥面PCB, 則∠QGE為所求的角.
S_△PEB=BE·PA=PB·EQEQ=
在△PEC中, PE＝EC＝, G為PC的中點, ∴EG＝,
在Rt△EGQ中, sin∠EGQ=
∴∠EGQ=30°