Question

函數f（x）=log_a（a^x-1），（0＜a＜1），
（1）求f（x）的定義域；
（2）證明在定義域內f（x）是增函數；
（3）解方程f（2x）=log_a（a^x+1）

Answer 1

分析：（1）利用對數函數的性質求定義域．（2）利用函數的單調性的定義證明函數的單調性．（3）利用對數函數的性質解對數方程．

解答：解：（1）要使函數有意義，則a^x-1＞0，即a^x＞1，因為0＜a＜1，所以x＜0．
即函數的定義域為（-∞，0）．
（2）任設x₁＜x₂＜0，
則f(x2)-f(x1)=loga

ax2-1

ax1-1

，
因為0＜a＜1，x₁＜x₂＜0，
所以0＜ax2-1＜ax1-1，
即0＜

ax2-1

ax1-1

＜1，所以f(x2)-f(x1)=loga

ax2-1

ax1-1

＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁），所以函數f（x）在定義域內f（x）是增函數．
（3）由f（2x）=log_a（a^x+1）得loga(ax+1)=loga(a2x-1)，
即a^x+1=a^2x-1，
所以a^2x-a^x-2=0，解得a^x=2，x=log_a2，或者a^x=-1不成立舍去．
所以方程 的根為x=log_a2．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質，考查學生的運算能力．