Question

給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則函數f（x）=x²-a^x-3只有一個零點；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4；
④對于任意實數x，有f（-x）=f（x），且當x＞0時，f′（x）＞0，則當x＜0時，f′（x）＜0．
其中正確命題的序號是

①③④

．（填所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：根據全稱命題的否定方法，求出原命題的否定，可得①正確；
根據0＜a＜1，則函數y=x²-3與y=a^x的圖象有兩個交點，可判斷函數f（x）有兩個零點，進而判斷②錯誤；
根據lga+lgb=lg（a+b），根據對數的運算性質及基本不等式可得a+b≥4，進而判斷③正確；
根據f（-x）=f（x）可得函數為偶函數，進而由當x＞0時，f′（x）＞0，分析出函數的單調性，進而可判斷④正確；

解答：解：命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，故①正確；
若0＜a＜1，則函數y=x²-3與y=a^x的圖象有兩個交點，故函數f（x）=x²-a^x-3有兩個零點，故②錯誤；
若lga+lgb=lg（a+b），則a＞0，b＞0，且a+b=a•b，則a+b≥4，故a+b的最小值為4，即③正確；
對于任意實數x，有f（-x）=f（x），則函數為偶函數，又由當x＞0時，f′（x）＞0，故函數在（0，+∞）上為增函數，則函數在（-∞，0）上為減函數，故當x＜0時，f′（x）＜0，故④正確；
故答案為：①③④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了全稱命題的否定，函數的零點，對數的運算性質，函數的奇偶性和單調性，難度不大，為基礎題型．