Question

設函數y=f（x）定義在R上，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意m，n，有f（m+n）=f（m）•f（n），當m≠n時，f（m）≠f（n）；
（1）證明：f（0）=1；
（2）證明：f（x）在R上是增函數；
（3）設A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＜f（1）}，B={（x，y）|f（ax+by+c）=1，a，b，c∈R，a≠0}，若A∩B=∅，求a，b，c滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）根據對任意m，n，有f（m+n）=f（m）•f（n），m=n=0，即可求出f（0）=1；
（2）根據已知中當x＞0時，f（x）＞1，結合（1）的定義，我們易得到當x＜0時，0＜f（x）＜1，利用做差法，即可證明出f（x）在R上是增函數；
（3）結合（1）的結論，分別集合A，B的元素所具有的幾何性質，可將問題轉化為直線與圓相切或相離的問題，進而得到結論．

解答：解：（1）∵f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=n=0
則f（0）=f（0）•f（0）
又∵當x＞0時，f（x）＞1，
∴f（0）≠0
∴f（0）=1
（2）令m=-n
則可得f（m）•f（n）=1
∵當x＞0時，f（x）＞1，
∴當x＜0時，0＜f（x）＜1，
令n＞0，則m+n＞m
則f（m+n）-f（m）=f（m）•[f（n）-1]＞0
故f（x）在R上是增函數；
（3）若f（x²）•f（y²）＜f（1）
即x²+y²＜1，則A表示單位圓內的點集
若f（ax+by+c）=1，則ax+by+c=0
若A∩B=∅，
則表示原點到直線ax+by+c=0的距離大于等于1
即

|c|

a2+b2

≥1；
整理得a²+b²≤c²

點評：本題考查的知識點是抽象函數的應用，其中抽象函數“湊”的思想是解答本題的關鍵．