Question

對于數列{a_n}，（n∈N₊，a_n∈N₊），若b_k為a₁，a₂，…，a_k中最大值（k=1，2，…n），則稱數列{b_n}為數列{a_n}的“凸值數列”．如數列2，1，3，7，5的“凸值數列”為2，2，3，7，7；由此定義，下列說法正確的有

①④

①遞減數列{a_n}的“凸值數列”是常數列；
②不存在數列{a_n}，它的“凸值數列”還是{a_n}本身；
③任意數列{a_n}的“凸值數列”是遞增數列；
④“凸值數列”為1，3，3，9，的所有數列{a_n}的個數為3．

Answer 1

分析：：①根據“凸值數列”的定義，可得遞減數列{a_n}的“凸值數列”為a₁，a₁，…，a₁；
②常數列{a_n}，它的“凸值數列”還是{a_n}本身；
③遞減數列{a_n}的“凸值數列”是常數列；
④寫出“凸值數列”為1，3，3，9的所有數列{a_n}，即可得到結論．

解答：解：①根據“凸值數列”的定義，可得遞減數列{a_n}的“凸值數列”為a₁，a₁，…，a₁，∴是常數列，∴①正確；
②常數列{a_n}，它的“凸值數列”還是{a_n}本身，∴②不正確；
③遞減數列{a_n}的“凸值數列”是常數列，∴③不正確；
④“凸值數列”為1，3，3，9的所有數列{a_n}為1，3，1，9；1，3，2，9，；1，3，3，9，個數為3，∴④正確．
故答案為①④

點評：本題主要考查“凸值數列”的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．