Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD繞CD旋轉(zhuǎn)至A′CD，使A′B=

3

．
（1）求證：BA′⊥面A′CD；
（2）求異面直線A′C與BD所成角的余弦值．
（3）（理科做）求二面角A′-CD-B的大小．

Answer 1

分析：（1）要證BA^′⊥面A^′CD． 只需證明A^′D⊥A^′B，CD⊥A^′B，由題意可證，故可得結(jié)論；
（2）利用平行線，可得∠CA′E為所求角，利用余弦定理可求；
（3）利用A^′D⊥CD，且BD⊥CD，可知∠A′DB是所求二面角的平面角，從而可求．

解答：證明：

(1)由題可知：CD⊥BD，CD⊥A′D，

且BD∩AD=D，
∴CD⊥面A^′BD，CD⊥A^′B，
又∵A^′D²+A^′B²=BD²，∴A^′D⊥A^′B，且CD∩A^′D=D，
∴BA^′⊥面A^′CD．
(2)過點(diǎn)A′作A′E∥BD，且A′E=BD，連接DE，則∠CA′E為所求角，CE=

5

，A′E=2，∴COS∠CA′E=

4+3-5

2×2× 3

=

3

6

，
（3）∵A^′D⊥CD，且BD⊥CD，
∴∠A′DB是所求二面角的平面角，
由題易知∠A^′DB=60°
∴二面角A′-CD-B的大小為60°．

點(diǎn)評：本題以三棱錐為載體，考查線面垂直，考查線線角，線面角，關(guān)鍵是作出相應(yīng)的角．