Question

（1）求橢圓的離心率；
（2）若左焦點設過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與x軸交于，求點橫坐標的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

（1）解法1：由題設AF₂⊥F₁F₂，及F₁（－c,0），F₂（c,0），不妨設點A（c,y），其中y>0.
由于點A在橢圓上，有
即.……………………2分
直線AF₁的方程為
由題設，原點O到直線AF₁的距離為…………4分
將，進而求得……6分
解法2：設O到直線AF₁的垂足為E，則
Rt△OEF₁—Rt△AF₂F₁，
 （*）……………………2分
由已知條件可求得………………3分
又…………4分
代入（*）式得
將代入并化簡，得進而求得…………6分
（2）∵左焦點F₁（－1，0）
∴橢圓的方程為                     ………………  7分
設直線BC的方程為代入橢圓方程并整理得

 
記B
則
                             …………………10分
∴BC的垂直平分線NG的方程為
                                     …………… 11分
令y=0得

                                          …………12分

                                          ……………13分
即點G橫坐標的取值范圍為                        ……………14分