Question

【題目】在三棱臺中，是等邊三角形，二面角的平面角為，.

（I）求證：；

（II）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（I）先由線面垂直的判定定理證明平面，進而可得；

（II）可以在幾何體中作出直線與平面所成的角，解三角形即可；也可用向量的方法建立適當的坐標系，求出直線的方向向量以及平面的法向量，根據向量夾角的余弦值確定線面角的正弦值.

（I）證明：設，與交于點，取棱的中點，連結.

因，，

故.

又是棱的中點，

故.

同理

又平面，且，

因此平面，

又平面，

所以；

（II）方法一：

作，垂足為.

因平面，

故平面，

從而為直線與平面所成的角.

不妨設,則，，

所以.

方法二：如圖，以為原點建立空間直角坐標系，

由（I），為二面角的平面角，則，

設，，則點 , , ，.

設為平面，即平面的一個法向量，

由 ，得，

令，則，即.

.

設是直線與平面所成的角，

則.