Question

（2013•普陀區二模）如圖，△ABC是邊長為1的正三角形，點P在△ABC所在的平面內，且|

PA

|2+|

PB

|2+|

PC

|2=a（a為常數）．下列結論中，正確的是（　　）

A．當0＜a＜1時，滿足條件的點P有且只有一個

B．當a=1時，滿足條件的點P有三個

C．當a＞1時，滿足條件的點P有無數個

D．當a為任意正實數時，滿足條件的點P是有限個

Answer 1

分析：以BC所在直線為x軸，BC中點為原點，建立直角坐標系，如圖所示設P（x，y），將式子|

PA

|2+|

PB

|2+|

PC

|2=a化為關于x、y、a的式子，化簡整理可得x²+（y-

3

6

）²=

1

3

（a-1），討論a的取值范圍，可得當a＞1時方程表示以點（0，

3

6

）為圓心，半徑r=

1 3 (a-1)

的圓，滿足條件的點P有無數個，可知只有C項符合題意．

解答：解：以BC所在直線為x軸，BC中點為原點，建立直角坐標系，如圖所示
則A（-

1

2

，0），B（

1

2

，0），C（0，

3

2

），設P（x，y），可得

|PA|

2=x²+（y-

3

2

）²，

|PB|

2=（x+

1

2

）²+y²，

|PC|

2=（x-

1

2

）²+y²
∵|

PA

|2+|

PB

|2+|

PC

|2=a
∴x²+（y-

3

2

）²+（x+

1

2

）²+y²+（x-

1

2

）²+y²=a
化簡得：3x²+3y²-

3

y+

5

4

-a=0，即x²+y²-

3

3

y+

5

12

-

a

3

=0
配方，得x²+（y-

3

6

）²=

1

3

（a-1）…（1）
當a＜1時，方程（1）的右邊小于0，故不能表示任何圖形；
當a=1時，方程（1）的右邊為0，表示點（0，

3

6

），恰好是正三角形的重心；
當a＞1時，方程（1）的右邊大于0，表示以（0，

3

6

）為圓心，半徑為

1 3 (a-1)

的圓
由此對照各個選項，可得只有C項符合題意
故選：C

點評：本題給出正三角形中滿足條件的動點P，求點P的軌跡方程，著重考查了坐標系內兩點的距離公式、圓的標準方程和含有參數的二次方程的討論等知識，屬于中檔題．