Question

【題目】如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，是底面內一動點，若直線與平面不存在公共點，以下說法正確的個數是（ ）

①三棱錐的體積為定值；

②的面積的最小值為；

③平面；

④經過三點的截面把正方體分成體積相等的兩部分.

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題意得，平面，連接，則，可得平面，平面，由此得平面平面，則點在直線上，從而有的面積為定值，由此可判斷①；結合題意得，當點為的交點時，，有最小值，由此可判斷②；由題意可得平面，從而推出，，由此可判斷③；將平面補成平面（均為各條棱的中點），結合圖象可判斷④．

解：∵直線與平面不存在公共點，

∴平面，

連接，則，

∵分別是棱的中點，

∴，，

∵平面，平面，

∴平面，

同理，平面，

又，

∴平面平面，

∵平面，平面平面，平面，

∴點在直線上，

∵，

∴的面積為定值，

∴三棱錐的體積為定值，則①對；

∵，

∴當點為的交點時，，有最小值，

此時，直角的面積有最小值，且，則②對；

∵在正方體中，，

由平面得，，

∴平面，∴，則，

同理，，

∴平面，則③對；

將平面補成平面（均為各條棱的中點），如圖，

則平面將正方體分成兩個大小形狀完全相同的部分（均由一個正六棱錐和三個三棱錐拼接而成），則④對；

故選：D．