Question

設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x.

（1）求f(π)的值； 

（2）當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；

（3）寫出(－∞，＋∞)內函數f(x)的單調區間．

 

Answer 1

【答案】

（1）π－4.

（2）4

（3）遞增區間為[4k－1,4k＋1](k∈Z)，單調遞減區間[4k＋1,4k＋3](k∈Z)

【解析】

試題分析：解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，

f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是以4為周期的周期函數，

∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函數與f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．

故知函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．

又0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示．

當－4≤x≤4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則

S＝4S_△OAB＝4×＝4.

(3)根據（1）（2）可知函數的圖形，根據奇偶性以及解析式和對稱中心可知，

在一個周期[-1,3]內的圖象可知增區間為[-1,1]，減區間為[1,3],那么推廣到整個實數域可知，都加上周期的整數倍即可，故可知函數f(x)的單調遞增區間為[4k－1,4k＋1](k∈Z)，單調遞減區間[4k＋1,4k＋3](k∈Z)

考點：函數圖象與性質

點評：主要是考查了函數的圖象與性質的綜合運用，屬于中檔題。