Question

已知函數f（x）=x²+（a+2）x+5+a，a∈R．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有一正根和一個負根，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當x＞-1時，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）函數的兩根一正一負可以用△＞0和兩根之積＜0判斷解決
（II）當x＞-1時，不等式f（x）≥0恒成立，就是a（x+1）≥-x²-2x-5，由x＞-1得x+1＞0，整理不等式求解即可

解答：解：（Ⅰ）設方程x²+（a+2）x+5+a=0有一正根和一個負根，
則

△=(a+2)2-4(a+5)＞0 5+a＜0

，
解得a＜-5
故答案為a＜-5
（Ⅱ）當x＞-1時，不等式x²+（a+2）x+5+a≥0恒成立，
即a（x+1）≥-x²-2x-5，因為x＞-1，所以x+1＞0，a≥

-x2-2x-5

x+1

=

-(x+1)2-4

x+1

=-(x+1)-

4

x+1

，
而-(x+1)-

4

x+1

≤-4，當且僅當x=1時等號成立，
所以a≥-4．
故答案為a≥-4

點評：本題考查學生對方程根的理解以及學生的轉化思想，將題目中的條件轉化后合理利用是解決本題的關鍵