Question

在△ABC中，E、F分別為AB、AC上的點，若

AE

AB

=m，

AF

AC

=n，則

S△AEF

S△ABC

=mn．拓展到空間：在三棱錐S-ABC中，D、E、F分別是側棱SA、SB、SC上的點，若

SD

DA

=m，

SE

EB

=n，

SF

FC

=p，則

VS-DEF

VS-ABC

=

 

．

Answer 1

分析：在由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．由在△ABC中，E、F分別為AB、AC上的點，若

AE

AB

=m，

AF

AC

=n，則

S△AEF

S△ABC

=mn（面的性質），我們可以推斷：在三棱錐S-ABC中，D、E、F分別是側棱SA、SB、SC上的點，若

SD

DA

=m，

SE

EB

=n，

SF

FC

=p時，三棱錐的體積的性質．

解答：解：在類比推理時，我們可以
由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，
由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，
由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．
由在△ABC中，E、F分別為AB、AC上的點，
若

AE

AB

=m，

AF

AC

=n，則

S△AEF

S△ABC

=mn（面的性質），
我們可以推斷：在三棱錐S-ABC中，D、E、F分別是側棱SA、SB、SC上的點，
若

SD

DA

=m，

SE

EB

=n，

SF

FC

=p時，

VS-DEF

VS-ABC

=

mnp

(m+1)(n+1)(p+1)

．
故答案為：

mnp

(m+1)(n+1)(p+1)

．

點評：本題考查的知識點是類比推理，在由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．