Question

（2011•靜海縣一模）已知拋物線C：y²=2px（p＞0），其焦點是橢圓mx²+4y²=1的右焦點，且橢圓的離心率為

2

2

．
（Ⅰ）試求拋物線C的方程；
（Ⅱ）在y軸上截距為2的直線l與拋物線C交于M，N兩點，以線段MN為直徑的圓過原點，求直線l的方程；
（Ⅲ）若以原點為圓心，以t（t＞0）為半徑的圓分別交拋物線C上半支和y軸正半軸于A，B兩點，直線AB與x軸交于點Q，試用A點的橫坐標x₀表示點Q的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率，求出m，可得右焦點坐標，從而可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程與拋物線聯立，利用以線段MN為直徑的圓過原點，結合向量知識，即可求直線l的方程；
（Ⅲ）確定A、B的坐標，可得直線的方程，令y=0，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓mx²+4y²=1的離心率為

2

2

，
∴

1 m - 1 4

1 m

=

1

2

，∴m=2
∴2x²+4y²=1的右焦點坐標為（

1

2

，0）
∵拋物線C：y²=2px（p＞0），其焦點是橢圓mx²+4y²=1的右焦點，
∴拋物線C的方程為y²=2x；
（Ⅱ）由題意，設l的方程為y=kx+2，設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直線方程代入拋物線方程可得k²x²+（4k-2）x+4=0，則x₁+x₂=-

4k-2

k2

，x₁x₂=

4

k2

∴y₁y₂=8-

8k-4

k

∵以線段MN為直徑的圓過原點，∴

OM

•

ON

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

4

k2

+8-

8k-4

k

=0
∴k=-1
∴l的方程為y=-x+2，即x+y-2=0；
（Ⅲ）設圓的方程為x²+y²=t，與拋物線方程聯立，可得x²+2x-t=0
設A（x0，

2x0

），則t=x₀²+2x₀，B（0，x₀²+2x₀）
∴直線AB的方程為y-（x₀²+2x₀）=

2 x0 -(x02+2x0)

x0

（x-0）
令y=0，則x=

x03+2x02

x02+2x0-2 x0

．
∴Q（

x03+2x02

x02+2x0-2 x0

，0）

點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的幾何性質，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．