Question

【題目】已知函數 ,若對任意,存在,，則實數的取值范圍為_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

利用導數求函數f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把對任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）轉化為g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．

解：由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1，

當x∈（﹣1，0）時，f′（x）＜0，當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，

∴f（x）在（﹣1，0）上單調遞減，在（0，1）上單調遞增，

∴f（x）min＝f（0）＝1．

對任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），

即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，

函數g（x）＝x2﹣bx+4的對稱軸為x＝．

當≤3，即b≤6時，g（x）在（3，4）上單調遞增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，

由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；

當≥4，即b≥8時，g（x）在（3，4）上單調遞減，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，

由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥8；

當3＜＜4，即6＜b＜8時，g（x）在（3，4）上先減后增，，

由≤1，解得或b，∴6＜b＜8．

綜上，實數b的取值范圍為[4，+∞）．

故答案為：[4，+∞）．