Question

已知函數f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求函數f（x）圖象的對稱軸方程和單調遞減區間；
（2）若函數g（x）=f（x）-f（

π

4

-x），求函數g（x）在區間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：通過二倍角公式以及兩角差的正弦函數，化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，
（1）通過正弦函數的對稱軸直接求函數f（x）圖象的對稱軸方程，利用正弦函數的單調減區間求出函數的單調遞減區間；
（2）利用函數g（x）=f（x）-f（

π

4

-x），求出函數g（x）的表達式，求出2x-

π

4

的范圍，然后求解函數在區間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

解答：解：f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1=sin2ωx-cos2ωx=

2

sin（2ωx-

π

4

）．
由于函數f（x）的最小正周期為T=

2π

2ω

=π，故ω=1，即函數f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．
（1）令2x-

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），得x=

kπ

2

+

3π

8

（k∈Z），
即為函數f（x）圖象的對稱軸方程．
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ（k∈Z），
即函數f（x）的單調遞減區間是[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]（k∈Z）．
（2）g（x）=f（x）-f（

π

4

-x）=

2

sin（2x-

π

4

）-

2

sin[2（

π

4

-x）-

π

4

]=2

2

sin（2x-

π

4

），
由于x∈[

π

8

，

3π

4

]，則0≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
故當2x-

π

4

=

π

2

即x=

3π

8

時函數g（x）取得最大值2

2

，當2x-

π

4

=

5π

4

即x=

3π

4

時函數g（x）取得最小值-2．

點評：本題考查三角函數的基本知識，兩角差的正弦函數的應用，函數的對稱軸與單調減區間的求法，函數的最值的求解，考查計算能力．