Question

已知圓N:（x+2）²+y²=8和拋物線C: y²= 2x，圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點A，B.
（I）當直線l的斜率為1時，求線段AB的長；
（II）設點M和點N關于直線y=x對稱，問是否存在直線l，使得?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1） .（2）.

(I)直線l的方程為y=x+m,根據直線l與圓相切，求出m值，然后再與拋物線方程聯立，根據弦長公式求出AB的值。
（II）由于點M與點N關于直線y=x對稱，從而可求出M的坐標，然后利用,把此條件用坐標表示出來，借助韋達定理建立關于k的方程，求出k值，再驗證是否滿足判別式大于零
因為圓N：，所以圓心N為（-2,0），半徑，
………1分
設，，
（1）當直線的斜率為1時，設的方程為即，因為直線是圓N的切線，所以，解得或（舍去）
此時直線的方程為， ………………3分
由 消去得，所以，，，

所以弦長 .……………………6分
（2）①設直線的方程為即（），
因為直線是圓N的切線，所以，
得 ①………………8分
由 消去得 ，
所以即且， ，.
因為點M和點N關于直線對稱，所以點M為
所以，，
因為，所以+ ，……9分
將A，B在直線上代入化簡得，
.
代入，得  
化簡得      ………②
①+②得
即，解得或 
當時，代入①解得，滿足條件且，
此時直線的方程為；
當時，代入①整理得 ，無解.………………11分
②               當直線的斜率不存在時，因為直線是圓N的切線，所以的方程為，則得，，
即
由①得：
=
當直線的斜率不存在時不成立.
綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為.